朋友，火（huǒ）柴盒（hé）子，你總很麵熟的了。它是長（zhǎng）方形的，有長（zhǎng），有寬，又有高，這你（nǐ）都知道的，不是嗎？對於這種（zhǒng）有長有寬又有高的東西，我們要計較它的大（dà）小，就得（dé）算（suàn）出它的體（tǐ）積，算這（zhè）種火柴（chái）盒子的（de）體（tǐ）積的方法，算術裏已經講（jiǎng）過，是把它的長、寬、高（gāo）來（lái）相乘。因此（cǐ），這（zhè）三個數中若有一個變了一點，它的體積（jī）也跟著要變的，所以我們可以說火柴盒子的體（tǐ）積是這三（sān）個量的（de）函數：設若它的長是a，寬（kuān）是b，高是c，體積是v，我們（men）就可得出下麵的式子：
v=
假如你（nǐ）有的火柴（chái）盒子是燮昌公司的，我有（yǒu）的卻是丹鳳公司的，你一定要和我爭（zhēng），說是你那一個的體積比我這一個的大。朋友！空口說白話，絕不能叫我心服，我得向（xiàng）你要證明，你有法子嗎？你隻好將（jiāng）它們的長、寬、高都比一比，找出燮昌的盒子有一邊，或兩邊，甚而至於三邊，都比丹鳳的盒子要長些，你真能這樣，我自（zì）然隻好啞口無言（yán）了。
我們借這個小問題做引子，來看看火柴盒子這類東西的（de）體積（jī）的變化是怎樣一個情景，先得想象它的長a、寬b和高c都是可以隨我（wǒ）們的意（yì）思叫它（tā）們伸縮（suō）的。
再得想象，它們的變化是連續的，好像（xiàng）你用打氣筒套在足球的橡皮膽上打（dǎ）氣的一般。火柴盒的三邊（biān）既（jì）然是連續地變（biàn），它的體（tǐ）積自然也得跟著連續地變（biàn），而（ér）恰好是三個變數a、b、c的連續函數。到了這裏，我（wǒ）們就（jiù）有（yǒu）了一個問題：
“當這三個變數同時（shí）連續地變的時候，它們的（de）函數v的（de）無限小的變化，我們怎樣（yàng）去測呢？”
以前，為了要計算無限小的變化，我們請出了（le）一件寶貨——導數來，不過那時的（de）函數是隻依賴著一個變（biàn）數的；現在，我們就來看，這（zhè）件寶貨碰到了幾個變數的函數，它還靈不靈。
第一步我們先注意到，我們（men）能夠將下麵的（de）一個體積，
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由以（yǐ）下將要說（shuō）到（dào）的（de）頂簡便的方法（fǎ）變成這麽一個新（xīn）體積：
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開始，我們將這體積的寬和高保持住老（lǎo）樣子，不讓它改變，隻使長加大一點變成（chéng）。
接（jiē）著（zhe），再保住和，隻（zhī）讓寬變到。
末了（le），將和保住，隻將變到（dào）。
這種（zhǒng）方法，我們是用三次手續使體積變到的，在每一次我們都（dōu）隻讓一個變數（shù）改變。
隻依賴著（zhe）一（yī）個（gè）變數的函數，它（tā）的變化，我們以前是用這個函數（shù）的導數來（lái）表示。
第一個表示隻將a當變數，第二個和（hé）第三個相應地表示隻將b或c當變（biàn）數。
你將前（qián）麵說過的關於微分的式子記起來吧！
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同樣地（dì），若要找v的變（biàn）化，那就得將它三邊（biān）的變化加起來，所以：
這個東西，在數學上給它一（yī）個（gè）名字叫“全微分”。
由上麵的例子，推到一般的情形去，我們就（jiù）可以（yǐ）說：
“幾（jǐ）個變數的函數，它的全部變化，可以用它的全微分表示。這全微分呢，便等於這函數對於各變數的偏微分的和。”所以要求出一個函數的全微分，必須分（fèn）次求出它對於每一（yī）個變數的偏導數。